XBUP - Kódování čísel

Úvod

Tento dokument je součástí dokumentace projektu eXtensible Binary Universal Protocol. Obsahuje popis používaných typů kódování čísel a jejich vývoj.

O úroveň výše

Obsah

1. Kódování SLRUB
1.1. Formalizace podmínek
2. Formalizace kódování
2.1. Kódování UBReal
3. Reference

1. Kódování SLRUB

Jako základní kódování přirozených čísel je v protokolu použito kódování SLRUB. Jde o variantu gama kódování, prozatím označováno jako rekurzivní unárně-binární kódování, které vzniklo aplikováním požadavků projektu na vlastnosti kódu. Vznik kódování je popsán v dokumentu kódování čísel. Rozšířením uvedené argumentace by mělo být možné formalizovat toto kódování jakožto nejvhodnější variantu reprezentace přirozených čísel.

1.1 Formalizace podmínek

Byly stanoveny požadavky, které má navrhované kódování splňovat. ...

Stanovené požadavky

Kódování libovolně velkého čísla
Základním požadavkem je umožnit vyjádření libovolně velkého čísla. Nelze uvažovat pouze dostatečně velkou rezervu, neboť by tak formát ztrácel svoji univerzálnost.
To lze shrnout v následujícím tvrzení:
Tvrzení: Univerzální protokol musí umožňovat kódování libovolně velkého konečného čísla
Důkaz sporem: Předpokládejme, že formát umí kódovat číslo do maximální hodnoty n. Pak formát neumí zakódovat číslo n+1, a proto není univerzální. :-)
Použití neomezeně velkých čísel je už implementováno v několika programovacích jazycích a jejich hlavní nevýhodou je větší náročnost výkon počítače, v běžných případech se však lze při zpracování protokolu omezit na standardní rozsahy hodnot. Ještě je vhodné zmínit, že nelze kódovat reálná čísla s nekonečným desetinným rozvojem, protože máme dostupný pouze konečný paměťový prostor. Tyto čísla je však možné realizovat algoritmicky, což však nespadá do základního kódování.

Kódování do posloupnosti bitů
Data jsou kódována do potenciálně nekonečné posloupnosti bitů. Posloupnost dvoustavových nosičů informace je zvolena díky své minimálnosti. Ukládání do posloupnosti stavových údajů různých rozsahů v podstatě není z datového hlediska kódování a volba více než dvoustavových nosičů nemá žádné logické opodstatnění. To lze shrnout v následujícím tvrzení:
Tvrzení: Kódování do posloupnosti bitů je dostačující a minimální
Argumentace: Podle Churchovy teze je možné zakódovat libovolné data pomocí Turingova stroje. Ten je možné minimalizovat tak, že vstup je posloupnost dvoustavových hodnot (abeceda nad dvěma znaky).

2.1. Kódování UBReal

Je celkem snadné ukázat, že každé hodnotě s konečným dvojkovým rozvojem odpovídá právě jeden kód. Důkaz v opačném směru je obdobný.

Tvrzení: Každému číslu s konečným dvojkovým rozvojem odpovídá právě jeden kód v kódování UBReal. Tvrzení platí za předpokladu, že stejné tvrzení platí pro kódování UBInteger (bez uvedení důkazu)

Důkaz: (sporem) Předpokládejme, že danému číslu odpovídají dva rozdílné tvary v kódu UBReal. Pak se tyto kódy liší:
a) V hodnotě Base, nebo obou: Všechny bity hodnoty Value musejí být přítomny i v binárním kódu hodnoty Base. Pak z předpokladu, že kódování UBInteger splňuje stejnou podmínku plyne i rovnost kódu pro Base - spor
b) V hodnotě Mantisa: V binárním kódu je vždy posloupnost bitů hodnoty Value zakončena bitem 1 (neviditelná jednička) a všechny nižší bity mají hodnodu 0. Pokud vezmeme hodnotu s menším číslem Mantisa, pak se bit na pozici zakončovacího bitu této hodnoty liší v obou vstupních číslech - spor.

3. Reference

Seznam zdrojů, literatury a relevantních odkazů.

Churchova teze - Church Thesis http://en.wikipedia.org/wiki/Church_thesis]
Turingův stroj - Turing Machine [http://en.wikipedia.org/wiki/Turing_machine]

Homepage: http://xbup.sf.net
License: GNU Free Documentation License (FDL)
Latest update: 2008-11-09